LES MATHEMATIQUES - L'ARITHMÉTIQUE

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Arithmétique: étude de l'ensemble N des entiers naturels ainsi que de l'ensemble Z des entiers relatifs.

Historique succint: l'habitude de compter de dix en dix provient sans doute que nous avons dix doigts, mais ce n'est que vers le X° siècle qu'apparu en europe l'usage de ne faire appel qu'à dix symboles, appelés chiffres arabes. En fait ces notations ont dabord été introduites par les mathématiciens indiens, puis ils se sont nettement déformés et de manière différente en occident et en orient:

Les notations hébraïques et grecques employaient les premières lettres de l'alphabet pour représenter les chiffres de 1 à 9, puis les suivantes pour les dizaines et les centaines.

Numération en grec ancien

Chiffres romains:

  • I un
  • V cinq
  • X dix
  • L cinquante
  • C cent
  • D cinq cent
  • M mille
Régles:
  • deux chiffres égaux écrits à la suite s'ajoutent: XX vingt
  • un chiffre placé à la droite d'un chiffre plus élevé s'ajoute à celui-ci: XV quinze
  • un chiffre placé à gauche d'un chiffre plus élevé se retranche de celui-ci: IV quatre

Entiers naturels et relatifs: Les entiers naturels N sont les éléments d'une suite illimitée 0, 1, 2... Ils servent à compter, à dénombrer les objets. l'ensemble des entiers relatifs Z est l'ensemble des nombres entiers affectés du signe + (nombre positif) ou - (nombre négatif). Cet ensemble rend la soustraction toujours possible.

  • multiples: les multiples d'un entier a sont les nombres de la forme na, avec n entier naturel
  • diviseur: b étant un multiple de a, a est un diviseur de b
  • Plus petit commun multiple (PPCM): les multiples communs à deux entiers naturels sont les multiples du plus petit d'entre eux, appellé PPCM
    • Multiples de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36
    • multiples de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42
    • => le PPCM de 4 et 6 est 12; les multiples communs de 4 et 6 sont des multiples de 12: 12, 24, 36
  • Plus grand commun diviseur (PGCD): on le trouve en décomposant les nombres en facteurs premiers. On prend chaque facteur commun et on fait le produit. PGCD(12,30)=2*3=6
  • nombre premier: entier naturel non nul n'ayant pas d'autres diviseurs que 1 et lui même. Tous les nombres premiers sont impairs, sauf 2. Il en existe une infinité. Tout entier naturel peut être mis sous la forme d'un produit de nombres premiers. e.g. 1, 2, 3, 5, 7
Nombres rationels Q: Quotient ayant pour numérateur et dénominateur des nombres entiers relatifs; e.g. 3/2, -1/15. Cet ensemble a été construit pour rendre la division possible tout le temps, sauf la division par zéro.

Nombres décimaux D: nombres rationnels dont le dénominateur est une puissance de dix (e.g. 27/10, -7/100, 253/1000). On les écrit habituellement à l'aide de virgules (e.g. 2714/1000=2.714). Tout nombre rationnel admet un developpement décimal, mais s'ils ne sont pas décimaux, celui-ci est illimité avec développement périodique.

Nombres irrationnels I: nombres réels autres que rationnels, admettant un developpement décimal illimité apériodique (e.g. e, PI)

Rationnels, décimaux et irrationnels forment un ensemble dense: entre deux rationnels, deux décimaux ou deux irrationnels figurent une infinité de rationnels, décimaux et irrationnels. Ces nombres ne peuvent pas être représentés par une droite.

Nombres algèbriques: x est algébrique si on peut trouver des entiers relatifs n, a, b...l tels que: x=ax^n+bx^n-1+...+l=0. tout rationnels est algébrique, certains irrationnels aussi (racine de 2). Un irrationnel non algébrique est dit transcendant (PI, e, etc.)

Nombres réels R: cet ensemble contient les nombres rationnels et irrationnels et peut être réprésenté par une droite

Nombre PI: nombre transcendant, rapport entre le périmètre d'un cercle et de son diamètre.


Numération: Les chiffres sont des signes graphiques élémentaires à l'aide desquels on écrit les nombres entiers. Nous comptons en base 10, c'est à dire avec dix chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9. Dans un nombre:
e.g. 9058= 9*10^3 (milliers) + 0*10^2 (centaines) + 5*10 (dizaines) + 8 (unités)

Addition: Algorithme:
retenues 1


3 8 2
+ 4 5 2
=
8 3 4

Tables d'additions:

+

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18


Soustraction: Algorithme:

6 3
- 2 5
retenues 1
= 3 8

Multiplication: Algorithme:

0, 1 6 Multiplicande
x
2, 3 Multiplicateur


4 8
+
3 2

= 0,3 6 8

Carré de Pythagore: Il donne les tables de multiplication

X 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81

Division euclidienne: quelque soit les entiers naturels a et b (b#0), il existe un unique entier naturel q et un unique entier naturel r tel que a=bq+r
    • a dividende
    • b diviseur
    • q quotient
    • r reste
Algorithme:
dividende 49,6 21 diviseur

76 2,3 quotient
reste 13

Règles de divisibilité:

  • divisibilité par 5: il faut et il suffit que le dernier chiffre soit 0 ou 5
  • divisibilité par 25: il faut et il suffit que les 2 derniers chiffres forment un multiple de 25
  • divisibilité par 3: il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 3
  • divisibilité par 9: il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 9
  • divisibilité par 11: il faut et il suffit que la différence de la somme des chiffres de rang pair et de la somme des chiffres de rang impair soit divisible par 11